¿Es posible que la realidad que percibimos tenga otras realidades ocultas de forma implícita? Basándonos en fenómenos dimensionales de algunas figuras no orientables como la cinta de Möbius y la botella de Klein junto con algunas situaciones cotidianas intentaremos darle credibilidad a esta hipótesis.

Es necesario entender en primer lugar el concepto de topología (del griego τόπος, ‘lugar’, y λόγος, ‘estudio’) que en matemáticas corresponde a la rama que se dedica al estudio de las propiedades espaciales que son conservadas en presencia de deformaciones como conexiones y estiramientos sin corromper mediante cortes o pegados el objeto de análisis[1]. Entre esas propiedades se encuentra la conectividad, que será de gran utilidad para analizar la cinta de Möbius y la botella de Klein, ambos objetos no orientables.

La “Cinta” o “Banda de Möbius” (figura 1) es una superficie descubierta por los matemáticos August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. La característica principal de la banda es que corresponde a un objeto tridimensional con una sola cara y un solo borde, cualidades que pueden ser demostradas de forma experimental sin mayor complejidad.

                                                               Figura 1. Cinta de Möbius.

El ensamblaje de una cinta de Möbius es simple y basta con unir los extremos de una banda de papel, pero no directamente si no que de forma inversa [2]

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Si se ubica un marcador o un lápiz en cualquier punto de la superficie de la cinta y se comienza a recorrer esta misma en una dirección, se observará que se llega al mismo punto de partida, por lo cual el objeto posee una única superficie. Por otro lado, si se aprieta con firmeza uno de los bordes de la cinta y se comienza a girar esta misma, tras algunos segundos se llegará al mismo punto de un comienzo, por lo cual la cinta posee también un único borde. Otra evidencia de fenómenos y situaciones anomales se presenta al intentar cortar por la mitad la cinta; si se corta por la mitad una banda de papel cuyos extremos no han sido unidos lo que se obtiene son 2 bandas nuevas con superficies y bordes independientes, sin embargo, al cortar la cinta de Möbius se obtiene una cinta nuevamente con una única superficie, lo cual tiene sentido únicamente considerando que se ha cortado un objeto con un solo borde y superficie (un solo borde no puede originar un segundo borde si se considera un segmento en un plano cartesiano, y tampoco se puede originar una segunda superficie a raíz de una única superficie sin transgredir la conectividad de esta misma). Esta nueva cinta que de primera vista no tiene ninguna particularidad deja en evidencia más información si se vuelve a cortar por la mitad, obteniendo un objeto tridimensional que aparenta ser una cinta enroscada al interior de otra cinta enroscada. La cinta de Möbius ha tenido grandes aplicaciones como en los fonos films[3], donde las cintas de grabación eran ensambladas como cintas de Möbius para poder obtener el doble de tiempo de grabación en ellas. También en la industria se utiliza dicho ensamblaje para evitar el desgastamiento irregular en las superficies de las bandas utilizadas en algunas maquinarias. También se presenta cotidianamente en el símbolo de reciclaje como símbolo de lo reutilizable (sin fin de la superficie). Lo más destacable de este objeto matemático es que posee una inmensidad de información adicional a las características bidimensionales de superficie y borde, sin embargo, requiere tres dimensiones para ser comprendido, por lo cual surge el planteamiento de la idea de que existe información intrínseca en una determinada dimensión que amerita una dimensión mayor para ser entendida con exactitud. Otro ejemplo de esto es la “Botella de Klein” (figura 2), un objeto matemático no orientable que solo puede ser explicado con el razonamiento utilizado para entender a la cinta de Möbius.

                                                                   Figura 2. Botella de Klein

Esta botella es un objeto visiblemente tridimensional,
pero que requiere en realidad cuatro dimensiones para ser comprendida pues en
tres dimensiones es visible que por su fisionomía se auto atraviesa, transgrediendo
la conectividad topológica, sin embargo algunas características no evidentes
pueden ser observadas, como por ejemplo el hecho de que el objeto tiene una
única superficie, es decir, no existe un interior ni un exterior en ella
analógicamente con el hecho de que no existen dos caras en una cinta de Möbius.
Nuevamente, existe información tridimensional que amerita una realidad de
cuatro dimensiones para ser entendida, lo cual está fuera de nuestro alcance en
primera instancia considerando que somos seres que aparentemente existen en una
realidad tridimensional y no logran comprender más allá que ella. ¿Será que
somos incapaces de entender nuestra realidad debido a nuestro horizonte
tridimensional? ¿Seriamos capaces de entender nuestra existencia si adquirimos
la capacidad de entender un mundo tetradimensional?. 

Gracias por leer, próximamente se encontrará disponible la segunda parte.  

Agradecimientos especiales a Enzo Galliani y Alam Nuñez por ayudar a estructurar gran parte de las reflexiones y fundamentos matemáticos presentados en este artículo.

*Curiosidades: en la web http://www.kleinbottle.com/ es posible acceder a la venta online de los objetos matemáticos no orientables presentados en este artículo (figura 3).

                                                            Figura 3. Klein bottle on sale. 




[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Topology

[2] https://www.youtube.com/watch?v=YtPX_BSZZFo

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Phonofilm

Publicado en Ciencia
Fuentes consultadas:
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_four_colour_theorem.html
http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Moebius_Durango_14marzo2011.pdf
http://www.ual.es/~jlrodri/Topgen5/introduccion.html